References

Principal texts

1.
Evans, L. C. (2010), Partial Differential Equations (2nd ed.), Providence, American Mathematical Society.
2.
John, F. (1982), Partial Differential Equations (4th ed.), New York, Springer.
3.
Strauss, W. A. (2008), Partial Differential Equations: An Introduction (2nd ed.), Hoboken, Wiley.

Recommended texts

1.
Courant, R., and Hilbert, D. (1962), Methods of Mathematical Physics, Vol. II, New York, Interscience.
2.
Haberman, R. (2013), Applied Partial Differential Equations (5th ed.), Boston, Pearson.
3.
Whitham, G. B. (1974), Linear and Nonlinear Waves, New York, Wiley.

Software

1.
Harris, C. R., et al. (2020), Array programming with NumPy, Nature, 585, 357–362.
2.
Meurer, A., et al. (2017), SymPy: symbolic computing in Python, PeerJ Computer Science, 3, e103.
3.
Virtanen, P., et al. (2020), SciPy 1.0: fundamental algorithms for scientific computing in Python, Nature Methods, 17, 261–272.

Further reading

1.
Airy, G. B. (1838), On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic, Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 6, 379–402.
2.
d’Alembert, J. le R. (1747), Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration, Histoire de l’Académie Royale des Sciences et Belles Lettres de Berlin, 3, 214–219.
3.
Bessel, F. W. (1826), Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen, welcher aus der Bewegung der Sonne entsteht, Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (1824), 1–52.
4.
du Bois-Reymond, P. (1873), Ueber die Fourierschen Reihen, Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 21, 571–582.
5.
Bramson, M. (1983), Convergence of solutions of the Kolmogorov equation to travelling waves, Memoirs of the American Mathematical Society, 44, no. 285.
6.
Burgers, J. M. (1948), A mathematical model illustrating the theory of turbulence, Advances in Applied Mechanics, 1, 171–199.
7.
Carleson, L. (1966), On convergence and growth of partial sums of Fourier series, Acta Mathematica, 116, 135–157.
8.
Céa, J. (1964), Approximation variationnelle des problèmes aux limites, Annales de l’Institut Fourier, 14, 345–444.
9.
Charney, J. G., Fjørtoft, R., and von Neumann, J. (1950), Numerical integration of the barotropic vorticity equation, Tellus, 2, 237–254.
10.
Cole, J. D. (1951), On a quasi-linear parabolic equation occurring in aerodynamics, Quarterly of Applied Mathematics, 9, 225–236.
11.
Cooley, J. W., and Tukey, J. W. (1965), An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series, Mathematics of Computation, 19, 297–301.
12.
Courant, R. (1943), Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations, Bulletin of the American Mathematical Society, 49, 1–23.
13.
Courant, R., Friedrichs, K., and Lewy, H. (1928), Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik, Mathematische Annalen, 100, 32–74.
14.
Crank, J., and Nicolson, P. (1947), A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heat-conduction type, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 43, 50–67.
15.
Dirichlet, P. G. L. (1829), Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 4, 157–169.
16.
Duhamel, J. M. C. (1833), Mémoire sur la méthode générale relative au mouvement de la chaleur dans les corps solides plongés dans des milieux dont la température varie avec le temps, Journal de l’École Polytechnique, 14 (cahier 22), 20–77.
17.
Earnshaw, S. (1842), On the nature of the molecular forces which regulate the constitution of the luminiferous ether, Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 7, 97–112.
18.
Einstein, A. (1905), Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen, Annalen der Physik, 322, 549–560.
19.
Fejér, L. (1904), Untersuchungen über Fouriersche Reihen, Mathematische Annalen, 58, 51–69.
20.
Fick, A. (1855), Über Diffusion, Annalen der Physik, 170, 59–86.
21.
Fisher, R. A. (1937), The wave of advance of advantageous genes, Annals of Eugenics, 7, 355–369.
22.
von Foerster, H. (1959), Some remarks on changing populations, in F. Stohlman (ed.), The Kinetics of Cellular Proliferation, New York, Grune and Stratton, 382–407.
23.
Fourier, J. (1822), Théorie analytique de la chaleur, Paris, Firmin Didot.
24.
Galerkin, B. G. (1915), Rods and plates: series in some questions of elastic equilibrium of rods and plates (in Russian), Vestnik Inzhenerov, 1, 897–908.
25.
Gauss, C. F. (1840), Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungs-Kräfte, Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre 1839, Leipzig, 1–51.
26.
Gibbs, J. W. (1899), Fourier’s series, Nature, 59, 606.
27.
Godunov, S. K. (1959), A difference method for numerical calculation of discontinuous solutions of the equations of hydrodynamics, Matematicheskii Sbornik, 47(89), 271–306.
28.
Gordon, C., Webb, D. L., and Wolpert, S. (1992), One cannot hear the shape of a drum, Bulletin of the American Mathematical Society, 27, 134–138.
29.
Green, G. (1828), An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism, Nottingham, printed for the author by T. Wheelhouse.
30.
Hadamard, J. (1902), Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique, Princeton University Bulletin, 13, 49–52.
31.
Hadamard, J. (1923), Lectures on Cauchy’s Problem in Linear Partial Differential Equations, New Haven, Yale University Press.
32.
Harnack, A. (1887), Die Grundlagen der Theorie des logarithmischen Potentiales und der eindeutigen Potentialfunktion in der Ebene, Leipzig, Teubner.
33.
Hilbert, D. (1900), Über das Dirichletsche Prinzip, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 8, 184–188.
34.
Hodgkin, A. L., and Huxley, A. F. (1952), A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve, Journal of Physiology, 117, 500–544.
35.
Holmgren, E. (1901), Über Systeme von linearen partiellen Differentialgleichungen, Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar, 58, 91–103.
36.
Hopf, E. (1950), The partial differential equation \(u_t + uu_x = \mu u_{xx}\), Communications on Pure and Applied Mathematics, 3, 201–230.
37.
Hugoniot, H. (1887), Mémoire sur la propagation du mouvement dans les corps et spécialement dans les gaz parfaits, Journal de l’École Polytechnique, 57, 3–97.
38.
Huygens, C. (1690), Traité de la lumière, Leiden, Pierre van der Aa.
39.
Kac, M. (1966), Can one hear the shape of a drum?, American Mathematical Monthly, 73, 1–23.
40.
Kirchhoff, G. (1883), Zur Theorie der Lichtstrahlen, Annalen der Physik, 254, 663–695.
41.
Kolmogorov, A. N., Petrovsky, I. G., and Piskunov, N. S. (1937), Étude de l’équation de la diffusion avec croissance de la quantité de matière et son application à un problème biologique, Bulletin de l’Université d’État à Moscou, Série internationale, Section A, 1(6), 1–26.
42.
Korteweg, D. J., and de Vries, G. (1895), On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves, Philosophical Magazine, 39, 422–443.
43.
Kowalevsky, S. von (1875), Zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 80, 1–32.
44.
Kružkov, S. N. (1970), First order quasilinear equations in several independent variables, Mathematics of the USSR-Sbornik, 10, 217–243.
45.
Laplace, P.-S. (1785), Théorie des attractions des sphéroïdes et de la figure des planètes, Mémoires de l’Académie Royale des Sciences de Paris (année 1782), 113–196.
46.
Lax, P. D. (1957), Hyperbolic systems of conservation laws II, Communications on Pure and Applied Mathematics, 10, 537–566.
47.
Lax, P. D., and Milgram, A. N. (1954), Parabolic equations, in Contributions to the Theory of Partial Differential Equations, Annals of Mathematics Studies 33, Princeton University Press, 167–190.
48.
Lax, P. D., and Richtmyer, R. D. (1956), Survey of the stability of linear finite difference equations, Communications on Pure and Applied Mathematics, 9, 267–293.
49.
Lax, P. D., and Wendroff, B. (1960), Systems of conservation laws, Communications on Pure and Applied Mathematics, 13, 217–237.
50.
Legendre, A.-M. (1785), Recherches sur l’attraction des sphéroïdes homogènes, Mémoires de Mathématique et de Physique présentés à l’Académie Royale des Sciences par divers savans, 10, 411–434.
51.
Lewy, H. (1957), An example of a smooth linear partial differential equation without solution, Annals of Mathematics, 66, 155–158.
52.
Lighthill, M. J., and Whitham, G. B. (1955), On kinematic waves II: a theory of traffic flow on long crowded roads, Proceedings of the Royal Society of London A, 229, 317–345.
53.
Maxwell, J. C. (1873), A Treatise on Electricity and Magnetism, Oxford, Clarendon Press.
54.
McKendrick, A. G. (1926), Applications of mathematics to medical problems, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 44, 98–130.
55.
Mersenne, M. (1636), Harmonie universelle, Paris, Cramoisy.
56.
Nagumo, J., Arimoto, S., and Yoshizawa, S. (1962), An active pulse transmission line simulating nerve axon, Proceedings of the IRE, 50, 2061–2070.
57.
Nirenberg, L. (1953), A strong maximum principle for parabolic equations, Communications on Pure and Applied Mathematics, 6, 167–177.
58.
O’Brien, G. G., Hyman, M. A., and Kaplan, S. (1951), A study of the numerical solution of partial differential equations, Journal of Mathematics and Physics, 29, 223–251.
59.
Parseval, M.-A. (1806), Mémoire sur les séries et sur l’intégration complète d’une équation aux différences partielles linéaires du second ordre, à coefficients constants, Mémoires présentés à l’Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savans, 1, 638–648.
60.
Perry, J. (1895), On the age of the Earth, Nature, 51, 224–227.
61.
Plancherel, M. (1910), Contribution à l’étude de la représentation d’une fonction arbitraire par des intégrales définies, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 30, 289–335.
62.
Poisson, S. D. (1819), Mémoire sur l’intégration de quelques équations linéaires aux différences partielles, et particulièrement de l’équation générale du mouvement des fluides élastiques, Mémoires de l’Académie Royale des Sciences de l’Institut de France, 3, 121–176.
63.
Poisson, S. D. (1820), Mémoire sur la manière d’exprimer les fonctions par des séries de quantités périodiques, Journal de l’École Polytechnique, 11 (cahier 18), 417–489.
64.
Rankine, W. J. M. (1870), On the thermodynamic theory of waves of finite longitudinal disturbance, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 160, 277–288.
65.
Rayleigh, Lord (J. W. Strutt) (1877), The Theory of Sound, London, Macmillan.
66.
Richards, P. I. (1956), Shock waves on the highway, Operations Research, 4, 42–51.
67.
Richardson, L. F. (1922), Weather Prediction by Numerical Process, Cambridge University Press.
68.
Riemann, B. (1851), Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse, Inauguraldissertation, Göttingen.
69.
Ritz, W. (1909), Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 135, 1–61.
70.
Schnakenberg, J. (1979), Simple chemical reaction systems with limit cycle behaviour, Journal of Theoretical Biology, 81, 389–400.
71.
Skellam, J. G. (1951), Random dispersal in theoretical populations, Biometrika, 38, 196–218.
72.
Sobolev, S. L. (1938), Sur un théorème d’analyse fonctionnelle, Matematicheskii Sbornik, 4(46), 471–497.
73.
Talbot, A. (1979), The accurate numerical inversion of Laplace transforms, IMA Journal of Applied Mathematics, 23, 97–120.
74.
Thomson, W. (1848), Extrait d’une lettre de M. William Thomson à M. Liouville, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 10, 364–367.
75.
Thomson, W. (1864), On the secular cooling of the Earth, Transactions of the Royal Society of Edinburgh, 23, 157–169.
76.
Tricomi, F. (1923), Sulle equazioni lineari alle derivate parziali di 2\(^\circ \) ordine, di tipo misto, Memorie della Reale Accademia dei Lincei, serie 5, 14, 133–247.
77.
Turing, A. M. (1952), The chemical basis of morphogenesis, Philosophical Transactions of the Royal Society of London B, 237, 37–72.
78.
Tychonoff, A. (1935), Théorèmes d’unicité pour l’équation de la chaleur, Matematicheskii Sbornik, 42, 199–216.
79.
Weierstrass, K. (1870), Über das sogenannte Dirichlet’sche Princip, in Mathematische Werke, Vol. 2 (1895), Berlin, Mayer & Müller, 49–54.
80.
Widder, D. V. (1944), Positive temperatures on an infinite rod, Transactions of the American Mathematical Society, 55, 85–95.
81.
Wilbraham, H. (1848), On a certain periodic function, Cambridge and Dublin Mathematical Journal, 3, 198–201.